数学建模模型解题法（数学建模的几种常用方法 ）

数学模型求解方法(几种常用的数学建模方法)

1983年，数学建模作为一门独立的课程进入中国高校，首先在清华大学开设。1987年，高等教育出版社出版了我国第一本数学模型教材。20多年来，数学建模发展很快，很多高校陆续开设了数学建模课程。中国从1989年开始参加美国数学建模竞赛。1992年，国家教委高教司提出在全国普通高等学校举办数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语的使用越来越频繁，数学模型和数学建模也广泛应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍数学建模中常用的方法。

一，数学建模的相关概念

原型是人们在社会实践中关心和研究的现实世界的事物或对象。

模型是指为了特定目的，通过简化和提炼原型本质属性的某些信息而构建的原型替代品。一个原型可以有许多不同的模型用于不同的目的。

数学模型是指为了特定的目的，通过对现实世界中的特定对象进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言和数学工具建立起来的数学结构。

数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程。它是一种科学方法，通过心智活动来构造现实现象的重要和有用特征的表征，从而构造出描绘客观事物原型的数学模型，并分析、研究和解决实际问题，这种表征往往是视觉的或符号的表征。

二，教学模式的分类

数学模型可以从不同的角度分为不同的类型。从数学的角度，根据建立模型的数学方法，主要分为以下几种模型:几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。

三、数学建模的常用方法

1.类似

数学建模的过程就是对实际问题进行分析、抽象和总结，然后用数学语言、数学概念和数学符号表达成数学问题。表达什么样的问题，取决于思考者解决问题的意图。类比建模一般是在对实际问题的各种因素进行具体分析的基础上，通过联想和归纳进行分析，并与已知模型进行比较，将未知的关系转化为已知的关系，在不同的对象或完全不相关的对象之间找到相同或相似的关系。类比已知模型的一些结论，得到解决“相似”问题的数学方法，最终建立解决问题的模型。

2.量纲分析法

量纲分析是物理学领域建立数学模型的一种方法，于20世纪初提出。它以经验和实验为基础，利用物理规律的量纲齐性来确定物理量之间的关系。它是一种数学分析方法。通过量纲分析，可以正确分析变量之间的关系，简化实验，便于结果的整理。

在国际单位制中，有七个基本量:质量、长度、时间、电流、温度、光强和物质的量。它们的维数分别是M，L，T，I，H，J，N，称为基本维数。

量纲分析常用于定性研究一些关系和性质，利用量纲齐性原理寻求物理量之间的关系。在数学建模过程中，经常要进行无量纲化。根据量纲分析的思想，适当选择无量纲的度量来量化无量纲的量，从而达到减少参数、简化模型的效果。

3.差分法

差分法的数学思想是利用泰勒级数展开等方法，通过替换网格节点上函数值的差商来离散化控制方程的导数，从而在网格节点上建立未知值的方程，将微分问题转化为代数问题。建立离散动态系统的数学模型是一种有效的方法。

构造差分的方法很多，目前主要是泰勒级数展开法。其基本差分表达式主要有以下几种形式:一阶前向差分、一阶后向差分、一阶中心差分和二阶中心差分等。前两种格式是一阶计算精度，后两种格式是二阶计算精度。通过组合几种不同的时间和空的差分格式，可以组合不同的差分计算格式。

差分法的求解步骤是:建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；准确性分析和检查。

4.变分法

变分法是函数的数学领域处理函数，即泛函问题，相对于普通的函数微积分处理数字。这样的泛函可以通过对未知函数及其导数积分来构造，最终的函数就是极值函数。现实中的许多现象都可以表示为泛函极小化问题，即变分问题。解决变分问题通常有两种方法:经典变分法和最优控制论。受基础知识的限制，数学建模竞赛大专的建模方法较少使用变分法。

5.图论方法

数学建模中的图论方法是一种独特的方法。图论建模是指对一些抽象的事物进行抽象和简化，并用图形描述其特征和内在联系的过程。图论是研究用线连接的点集的理论。图中的节点表示对象，两点之间的连接表示两个对象之间存在一定的关系(顺序关系、输赢关系、传递关系、连接关系等。).事实上，任何包含某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。因此，图论是研究自然科学、工程技术、经济问题、管理等社会问题的重要现代数学工具，已成为数学建模的必要工具。

6.层次分析法

AHP(层次分析法)是由美国著名运筹学家T.L.Satty于20世纪70年代提出的。是指将决策问题的相关要素分解为目标、准则、方案等层次，然后在此基础上进行定性和定量分析的一种决策方法。该方法的特点是在深入分析复杂决策问题的本质、影响因素和内在联系后，构建层次结构模型，然后用较少的量化信息对决策的思维过程进行数学化，从而为解决多准则或无结构特征的复杂决策问题提供了一种简单的决策方法。AHP非常适合于定性或定性和定量相结合的决策分析。这是一种非常有效的系统分析和科学决策的方法。现已广泛应用于企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等领域。

层次分析法的基本步骤是:建立层次结构模型；构造一个比较矩阵；计算权重向量并检查一致性。

7.数据拟合方法

在建立数学模型时，实际问题有时只给出一组数据。处理这类问题的一个简单易行的方法就是通过数据拟合得到“最佳”的近似函数公式——经验公式。从几何的角度来说，就是寻找一条“最优”的曲线，使其最接近给定的数据点，也就是曲线拟合。根据一组数据确定其经验公式，一般可分为三步:

(1)确定经验公式的形式

根据所描述系统的固有特性，参考已知数据的图形和特征或其应遵循的规律，确定经验公式的形式。总体思路:首先，利用所研究系统相关问题的理论结论，确定经验公式的形式。其次，在没有现成理论的情况下，最简单的处理方法是通过追踪将数据点连接成光滑的曲线，与已知的函数曲线进行比较，找出与其接近的曲线。第三，如果要考虑所建立模型的必要逻辑和理论价值，可以用适当的数学方法对所研究系统的相关问题的机理进行定量分析，推导出更为严谨的数学公式。

(2)确定经验公式中的待定参数

一般可以采用线性情况下的最小二乘法，误差较小，适用于测量数据比较准确的情况。使用最小二乘法时，如果数学模型是非线性经验公式，待确定的参数通常是能否用合适的变量代替，转换成线性模型进行计算。

(3)进行模型试验。

经验公式确定后，将实测值与公式计算的理论值进行比较。

8.回归分析方法

回归分析是统计分析的重要组成部分。它是研究建模问题的一种常用而有效的方法，一般与实践密切相关，因为随机变量的值是随机的，而且大部分是通过实验得到的。与随机变量相关的数学模型的准确性(可靠性)来源于实践，需要进一步的统计实验来判断模型中随机变量(回归变量)的显著性，往往需要反复检验和修改模型。回归分析的主要内容是从一组数据(回归模型)中确定这些变量(参数)之间的数量关系；第二，统计检验模型的可信度；第三，从众多相关变量中判断变量的显著性(即哪些显著，哪些不显著，显著保留，不显著忽略)；第四，应用结果是对实际问题的判断。

根据回归模型的特点，常见的回归模型有:一元线性回归模型、多元线性回归模型和非线性回归模型。选择回归模型的一般方法如下:

(1)排除法

基本思路是把所有可选择的变量都摇进模型，然后逐个做淘汰测试，直到不能淘汰，最后得到选中的模型。

(2)收养法

基本思路是先选取几个变量进入模型，然后逐个检查其他变量，直到不能引入为止。

(3)逐步回归法

基本思想是上述两种方法的结合。

9.数学规划方法(线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划)

(1)线性规划

线性规划问题的共同特征:①一组可控因素(决策变量)X代表一个方案，一般X大于等于零；②约束是线性等式或不等式；③目标函数是线性的。最大化或最小化目标函数。

当变量较少时，可用图解法求得最优解。当变量较多时，一般采用单纯形法求解线性规划问题。这时候一般都是通过电脑编程来解决。

(2)非线性规划

如果至少一个目标函数或约束是非线性函数，则优化问题是非线性规划问题。非线性规划问题的求解方法主要有罚函数法和近似规划法。

(3)整数线性规划

整数规划问题是要求决策变量取整数值的线性或非线性规划问题。可以分为整数线性规划和整数非线性规划。求解整数规划的方法主要有分枝定界法和割平面法。其实常用的是0-1编程。指派问题是0-1规划问题的特例，可以用匈牙利法求解。

(4)动态规划。

动态规划法是20世纪50年代由贝尔曼等人提出的一种优化方法，用于解决多阶段决策过程问题。可以通过动态规划解决的问题通常具有三个特性:

最优化原理:如果一个问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就说这个问题有最优子结构，即满足最优化原理。

后效:即某个阶段的状态一旦确定，就不会受到这个状态后续决策的影响。也就是说，某个状态后的过程不会影响前一个状态，只与当前状态相关。

存在重叠子问题:即子问题不是独立的，一个子问题在下一阶段的决策中可能被多次使用。

动态规划法是分多个阶段进行决策。它的基本思想是根据空的特点，把复杂的问题分成几个相互联系的阶段。在选定系统的方向后，通过从终点到起点的计算，逐一为每个阶段寻找某种决策，使整个过程最优，这也叫逆向决策过程。在实际应用中，可以按照以下简化步骤进行设计:分析最优解的性质，描述其结构特征；定义递归的最优解；用自下而上或自上而下的记忆法(memo法)计算最优值；根据计算最优值时获得的信息，构造问题的最优解。

(5)目标规划

规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐渐发展起来的一个分支。目前已广泛应用于经济计划、生产管理、商业管理、市场分析和财务管理等领域。

规划模型的建模步骤:根据所要研究的问题提出的目标和条件，确定目标值，列出目标约束和绝对约束；根据决策者的需要，可以将部分或全部绝对约束转化为目标约束。这时候只需要在绝对约束上加上负偏差变量，减去正偏差变量。给每个目标赋予相应的优先级因子；如有必要，同一优先级中的偏差变量可以根据其重要性的不同赋予相应的权重系数。

10.现代优化算法(禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)

简而言之，数学模型是翻译和总结一些现实世界信息(现象、数据等)的产物。)通过使用数学语言和工具。数学模型被推导、推断，给出数学分析、预测、决策或控制，然后解释回现实世界。最后，这些分析、预测、决策或控制必须在实践中得到检验，完成实践-理论-实践的循环。如果检验结果正确或基本正确，可以用来指导实践；否则，我们应该重新考虑翻译和归纳的过程，并修改数学模型。数学模型的建立不仅依赖于丰富的数学知识及其科学合理的应用，还依赖于数学思维方法，包括思考问题的方式、使用的数学方法和处理技巧等。尤其要致力于“双向”翻译、逻辑推理、联想、顿悟这四种基本能力的培养。此外，还要提高实践能力，实践能力包括自学、文献检索、计算机应用、科技论文写作和相互交流。尤其要有意识地增强书面表达的准确性和简洁性。在平时的学习中积累和训练必要的知识和技能。